Complétion du carré

Propriété  
Soit  \(s\) et  \(p\) deux réels. Pour tout  \(x\) dans  \(\mathbb R\) , on a  \(x^2+sx+p=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+p\) . 

Démonstration
L'idée de la démonstration est de faire apparaître le développement de \(\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2\) . Pour ce faire, on remarque que \(s=2\times \dfrac{s}{2}\) et on rajoute et on enlève le réel \(\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=\dfrac{s^2}{4}\) .
Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , on a
\(\begin{align*}x^2+sx+p & = x^2+\color{green}{2}\dfrac{s}{\color{green}2}x\color{green}{+\dfrac{s^2}{4}-\dfrac{s^2}{4}}+p \\&=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+p \end{align*}\)

Exemple
Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) ,
\(\begin{align*}x^2+2x-3 &= x^2+2x\color{green}{+1-1}-3 \\&= x^2+2x+1-4\\&=(x+1)^2-4 \end{align*}\)